Предел функции (x/(2 + x))^x

Вы ввели

            x
     /  x  \ 
 lim |-----| 
x->oo\2 + x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 2}{x + 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x + 2}{-2}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{x} = e^{-2}$$

Быстрый ответ

 -2
e  

$$e^{-2}$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График