Предел функции x/(1 + 2*x)

Вы ввели

     /   x   \
 lim |-------|
x->oo\1 + 2*x/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u + 2}$$
=
$$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→-oo

Быстрый ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График