Предел функции x/(1 + x)^2

Вы ввели

      /   x    \
 lim  |--------|
x->-oo|       2|
      \(1 + x) /

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 0$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Подробнее при x→1 справа

Быстрый ответ

0

$$0$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

-oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2 x + 2}$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График