Предел функции (x/(1 + x))^x

Вы ввели

            x
     /  x  \ 
 lim |-----| 
x->oo\1 + x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$

Быстрый ответ

 -1
e  

$$e^{-1}$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График