Предел функции x/sin(10*x)

Вы ввели

     /    x    \
 lim |---------|
x->0+\sin(10*x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right)$$
Сделаем замену
$$u = 10 x$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{10 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{10}$$
=
$$\frac{\left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{10}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{10}$$

Слева и справа

     /    x    \
 lim |---------|
x->0+\sin(10*x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right)$$

1/10

$$\frac{1}{10}$$

= 0.1

     /    x    \
 lim |---------|
x->0-\sin(10*x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right)$$

1/10

$$\frac{1}{10}$$

= 0.1

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{10}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{10}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{\sin{\left(10 \right)}}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right) = \frac{1}{\sin{\left(10 \right)}}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Быстрый ответ

1/10

$$\frac{1}{10}$$

Численный ответ

0.1

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(10 x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{10 \cos{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{10}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1}{10}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График