Предел функции x/sin(5*x)

Вы ввели

     /   x    \
 lim |--------|
x->0+\sin(5*x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Сделаем замену
$$u = 5 x$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{5 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{\left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{5}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{1}{5}$$

Быстрый ответ

1/5

$$\frac{1}{5}$$

Слева и справа

     /   x    \
 lim |--------|
x->0+\sin(5*x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$

1/5

$$\frac{1}{5}$$

= 0.2

     /   x    \
 lim |--------|
x->0-\sin(5*x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$

1/5

$$\frac{1}{5}$$

= 0.2

Численный ответ

0.2

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{5 \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5}$$
=
$$\frac{1}{5}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График