Предел функции x/sin(x/2)

Вы ввели

     /  x   \
 lim |------|
x->0+|   /x\|
     |sin|-||
     \   \2//

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{x}{2}$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 2$$

Быстрый ответ

2

$$2$$

Слева и справа

     /  x   \
 lim |------|
x->0+|   /x\|
     |sin|-||
     \   \2//

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

     /  x   \
 lim |------|
x->0-|   /x\|
     |sin|-||
     \   \2//

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

Численный ответ

2.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$2$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График