Предел функции x/tan(x)

Вы ввели

     /  x   \
 lim |------|
x->0+\tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right) \lim_{x \to 0^+} \cos{\left(x \right)} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 1$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Слева и справа

     /  x   \
 lim |------|
x->0+\tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

     /  x   \
 lim |------|
x->0-\tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{\tan{\left(1 \right)}}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{\tan{\left(1 \right)}}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

1.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График