Предел функции (x/(3 + x))^x

Вы ввели

            x
     /  x  \ 
 lim |-----| 
x->oo\3 + x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 3}{x + 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x + 3}{-3}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{x} = e^{-3}$$

Быстрый ответ

 -3
e  

$$e^{-3}$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График