Предел функции (x + atan(x))/x

Вы ввели

     /x + atan(x)\
 lim |-----------|
x->oo\     x     /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4} + 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4} + 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo

Быстрый ответ

1

$$1$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График