Предел функции (x + tan(x))/sin(x)

Вы ввели

     /x + tan(x)\
 lim |----------|
x->0+\  sin(x)  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Слева и справа

     /x + tan(x)\
 lim |----------|
x->0+\  sin(x)  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

     /x + tan(x)\
 lim |----------|
x->0-\  sin(x)  /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

Быстрый ответ

2

$$2$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 2$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1 + \tan{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1 + \tan{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Численный ответ

2.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График