Предел функции (x+y)/(x-y)

Вы ввели

     /x + y\
 lim |-----|
x->oo\x - y/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u y + 1}{- u y + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 y + 1}{\left(-1\right) 0 y + 1} = 1$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = -1$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = -1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \frac{y + 1}{1 - y}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = \frac{y + 1}{1 - y}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right) = 1$$

Слева и справа

     /x + y\
 lim |-----|
x->0+\x - y/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$

-1

$$-1$$

     /x + y\
 lim |-----|
x->0-\x - y/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$

-1

$$-1$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + y\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - y\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + y}{x - y}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x + y\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(x - y\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)