Предел функции x*2^(-x)

Вы ввели

     /   -x\
 lim \x*2  /
x->oo       

$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} x\right)$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} x\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2^{- x} x\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(2^{- x} x\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(2^{- x} x\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(2^{- x} x\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{- x} x\right) = -\infty$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} 2^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График