Предел функции x*exp(-x)

Вы ввели

     /   -x\
 lim \x*e  /
x->oo       

$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- x}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x e^{- x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{- x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(x e^{- x}\right) = e^{-1}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(x e^{- x}\right) = e^{-1}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{- x}\right) = -\infty$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x}$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График