Предел функции x*cot(pi*x)

Вы ввели

 lim (x*cot(pi*x))
x->0+             

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{1}{\pi}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{1}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Быстрый ответ

1 
--
pi

$$\frac{1}{\pi}$$

Слева и справа

 lim (x*cot(pi*x))
x->0+             

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$

1 
--
pi

$$\frac{1}{\pi}$$

= 0.318309886183791

 lim (x*cot(pi*x))
x->0-             

$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$

1 
--
pi

$$\frac{1}{\pi}$$

= 0.318309886183791

Численный ответ

0.318309886183791

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{\pi}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)