Предел функции x*cot(2*x)

Вы ввели

 lim (x*cot(2*x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right) = \frac{1}{\tan{\left(2 \right)}}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right) = \frac{1}{\tan{\left(2 \right)}}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right)$$

Быстрый ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Слева и справа

 lim (x*cot(2*x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

 lim (x*cot(2*x))
x->0-            

$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Численный ответ

0.5

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(2 x \right)}} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(2 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(2 x \right)}}{2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График