Предел функции x*cot(6*x)

Вы ввели

 lim (x*cot(6*x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(6 x \right)}\right)$$

Быстрый ответ

1/6

$$\frac{1}{6}$$

Слева и справа

 lim (x*cot(6*x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(6 x \right)}\right)$$

1/6

$$\frac{1}{6}$$

= 0.166666666666667

 lim (x*cot(6*x))
x->0-            

$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \cot{\left(6 x \right)}\right)$$

1/6

$$\frac{1}{6}$$

= 0.166666666666667

Численный ответ

0.166666666666667

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(6 x \right)}} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(6 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(6 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(6 x \right)}}{6 \cot^{2}{\left(6 x \right)} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(6 x \right)}}{6 \cot^{2}{\left(6 x \right)} + 6}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График