Предел функции x^(-x)*factorial(x)

Вы ввели

     / -x   \
 lim \x  *x!/
x->oo        

$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{- x} x!\right)$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{- x} x!\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{- x} x!\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{- x} x!\right) = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{- x} x!\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{- x} x!\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{- x} x!\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x! = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{x} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{- x} x!\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!}{\frac{d}{d x} x^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)