Предел функции x^(1/(1 - x))

Вы ввели

        1  
      -----
      1 - x
 lim x     
x->1+      

$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{1 - x}}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{1 - x}}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{1}{x - 1}$$
тогда
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}\right)^{\frac{1}{1 - x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 1^+} \left(\frac{u + 1}{u}\right)^{\frac{1}{1 - \frac{u + 1}{u}}}$$
=
$$\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{1 - \frac{u + 1}{u}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{u \left(1 - \frac{u + 1}{u}\right)}}$$
Предел
$$\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{u \left(1 - \frac{u + 1}{u}\right)}} = e^{\frac{1}{u \left(1 - \frac{u + 1}{u}\right)}}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{1 - x}} = e^{-1}$$

Быстрый ответ

 -1
e  

$$e^{-1}$$

Слева и справа

        1  
      -----
      1 - x
 lim x     
x->1+      

$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{1 - x}}$$

 -1
e  

$$e^{-1}$$

= 0.367879441171442

        1  
      -----
      1 - x
 lim x     
x->1-      

$$\lim_{x \to 1^-} x^{\frac{1}{1 - x}}$$

 -1
e  

$$e^{-1}$$

= 0.367879441171442

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 1^-} x^{\frac{1}{1 - x}} = e^{-1}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{1 - x}} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{1 - x}} = 1$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 0^-} x^{\frac{1}{1 - x}} = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{1 - x}} = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{1 - x}} = 1$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

0.367879441171442

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График