Предел функции x^3/(1 + x)

Вы ввели

     /   3 \
     |  x  |
 lim |-----|
x->oo\1 + x/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{3} + u^{2}}$$
=
$$\frac{1}{0^{2} + 0^{3}} = \infty$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \infty$$

Быстрый ответ

oo

$$\infty$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График