Задача найди тринадцатый член ге ... ессии b1=2/343 q=корень 7 (на геометрическую прогрессию)

Вы ввели

найди тринадцатый член геометрической прогрессии b1=2/343 q=(7)^(1/2)

Найдено в тексте задачи:

Первый член: b1 = 2/343

n-член bn (n = 12 + 1 = 13)

Знаменатель: q = (7)^(1/2)

Другие члены: b1 = 2/343

Пример: ?

Найти члены от 1 до 13

Сумма

    /    /     n\            
    |b_1*\1 - q /            
    |------------  for q != 1
S = <   1 - q                
    |                        
    |   n*b_1      otherwise 
    \                        

$$S = \begin{cases} \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} & \text{for}\: q \neq 1 \\b_{1} n & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма тринадцати членов

      /  /         13\\
      |  |      ___  ||
      |2*\1 - \/ 7   /|
      |---------------|
      \      343      /
S13 = -----------------
                ___    
          1 - \/ 7     

$$S_{13} = \frac{\frac{2}{343} \cdot \left(1 - \left(\sqrt{7}\right)^{13}\right)}{1 - \sqrt{7}}$$

       2          ___
      --- - 686*\/ 7 
      343            
S13 = ---------------
               ___   
         1 - \/ 7    

$$S_{13} = \frac{\frac{2}{343} - 686 \sqrt{7}}{1 - \sqrt{7}}$$

n-член

Тринадцатый член

           -1 + n
b_n = b_1*q      

$$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$$

b_13 = 686

$$b_{13} = 686$$

Знаменатель

      ___
q = \/ 7 

$$q = \sqrt{7}$$

Пример

...

Расширенный пример:

2/343; 2*sqrt(7)/343; 2/49; 2*sqrt(7)/49; 2/7; 2*sqrt(7)/7; 2; 2*sqrt(7); 14; 14*sqrt(7); 98; 98*sqrt(7); 686...

b1 = 2/343

$$b_{1} = \frac{2}{343}$$

         ___
     2*\/ 7 
b2 = -------
       343  

$$b_{2} = \frac{2 \sqrt{7}}{343}$$

b3 = 2/49

$$b_{3} = \frac{2}{49}$$

         ___
     2*\/ 7 
b4 = -------
        49  

$$b_{4} = \frac{2 \sqrt{7}}{49}$$

b5 = 2/7

$$b_{5} = \frac{2}{7}$$

         ___
     2*\/ 7 
b6 = -------
        7   

$$b_{6} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$$

b7 = 2

$$b_{7} = 2$$

         ___
b8 = 2*\/ 7 

$$b_{8} = 2 \sqrt{7}$$

b9 = 14

$$b_{9} = 14$$

           ___
b10 = 14*\/ 7 

$$b_{10} = 14 \sqrt{7}$$

b11 = 98

$$b_{11} = 98$$

           ___
b12 = 98*\/ 7 

$$b_{12} = 98 \sqrt{7}$$

b13 = 686

$$b_{13} = 686$$

...

Первый член

b_1 = 2/343

$$b_{1} = \frac{2}{343}$$

Произведение первых n-членов

               n
               -
               2
P_n = (b_1*b_n) 

$$P_{n} = \left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac{n}{2}}$$

Произведение тринадцати членов

                 13/2
P13 = (686*2/343)    

$$P_{13} = \left(686 \cdot \frac{2}{343}\right)^{\frac{13}{2}}$$

P13 = 8192

$$P_{13} = 8192$$

Сумма бесконечной прогрессии

         /     /     n\  \
         |     |     -|  |
         |     |     2|  |
         |   2*\1 - 7 /  |
S =  lim |---------------|
    n->oo|    /      ___\|
         \343*\1 - \/ 7 //

$$S = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - 7^{\frac{n}{2}}\right)}{343 \cdot \left(1 - \sqrt{7}\right)}\right)$$

S = oo

$$S = \infty$$