Задача составьте формулу n-го чл ... прогрессии: 1/3; 1/12:... (на геометрическую прогрессию)

Вы ввели

составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии: 1/3; 1/12:...

Найдено в тексте задачи:

Первый член: b1 = 1/3

n-член bn (n = 2 + 1 = 3)

Знаменатель: q = (1/12)/(1/3)

Пример: 1/3; 1/12...

Найти члены от 1 до 3

Первый член

b_1 = 1/3

$$b_{1} = \frac{1}{3}$$

Пример

1/3; 1/12...

Расширенный пример:

1/3; 1/12; 1/48...

b1 = 1/3

$$b_{1} = \frac{1}{3}$$

b2 = 1/12

$$b_{2} = \frac{1}{12}$$

b3 = 1/48

$$b_{3} = \frac{1}{48}$$

...

Знаменатель

q = 1/4

$$q = \frac{1}{4}$$

Сумма

    /    /     n\            
    |b_1*\1 - q /            
    |------------  for q != 1
S = <   1 - q                
    |                        
    |   n*b_1      otherwise 
    \                        

$$S = \begin{cases} \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} & \text{for}\: q \neq 1 \\b_{1} n & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма трёх членов

     /    1 \
     |1 - --|
     |     3|
     |    4 |
     |------|
     \  3   /
S3 = --------
     1 - 1/4 

$$S_{3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{3}\right)}{- \frac{1}{4} + 1}$$

S3 = 7/16

$$S_{3} = \frac{7}{16}$$

Сумма бесконечной прогрессии

         /       -n\
         |4   4*4  |
S =  lim |- - -----|
    n->oo\9     9  /

$$S = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 4^{- n}}{9}\right)$$

S = 4/9

$$S = \frac{4}{9}$$

Произведение первых n-членов

               n
               -
               2
P_n = (b_1*b_n) 

$$P_{n} = \left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac{n}{2}}$$

Произведение трёх членов

               3/2
P3 = (1/3*1/48)   

$$P_{3} = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{48}\right)^{\frac{3}{2}}$$

P3 = 1/1728

$$P_{3} = \frac{1}{1728}$$

n-член

Третий член

           -1 + n
b_n = b_1*q      

$$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$$

b_3 = 1/48

$$b_{3} = \frac{1}{48}$$