Производная a^(sin(x/4))

Вы ввели

    /x\
 sin|-|
    \4/
a      

$$a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}$$

  /    /x\\
  | sin|-||
d |    \4/|
--\a      /
dx         

$$\frac{\partial}{\partial x} a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$.

2. $\frac{\partial}{\partial u} a^{u} = a^{u} \log{\left(a \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{4}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{4}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{4}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}} \log{\left(a \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}} \log{\left(a \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

---

Ответ:

$\frac{a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}} \log{\left(a \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

Первая производная

    /x\              
 sin|-|              
    \4/    /x\       
a      *cos|-|*log(a)
           \4/       
---------------------
          4          

$$\frac{a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}} \log{\left(a \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$$

Вторая производная

    /x\                                   
 sin|-|                                   
    \4/ /     /x\      2/x\       \       
a      *|- sin|-| + cos |-|*log(a)|*log(a)
        \     \4/       \4/       /       
------------------------------------------
                    16                    

$$\frac{a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}} \left(\log{\left(a \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} - \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\right) \log{\left(a \right)}}{16}$$

Третья производная

    /x\                                                       
 sin|-|                                                       
    \4/ /        2/x\    2                  /x\\    /x\       
a      *|-1 + cos |-|*log (a) - 3*log(a)*sin|-||*cos|-|*log(a)
        \         \4/                       \4//    \4/       
--------------------------------------------------------------
                              64                              

$$\frac{a^{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}} \left(\log{\left(a \right)}^{2} \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} - 3 \log{\left(a \right)} \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 1\right) \log{\left(a \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{64}$$