Производная a^tan(x)

Вы ввели

 tan(x)
a      

$$a^{\tan{\left(x \right)}}$$

d / tan(x)\
--\a      /
dx         

$$\frac{\partial}{\partial x} a^{\tan{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

2. $\frac{\partial}{\partial u} a^{u} = a^{u} \log{\left(a \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{a^{\tan{\left(x \right)}} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(a \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{a^{\tan{\left(x \right)}} \log{\left(a \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{a^{\tan{\left(x \right)}} \log{\left(a \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

 tan(x) /       2   \       
a      *\1 + tan (x)/*log(a)

$$a^{\tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(a \right)}$$

Вторая производная

 tan(x) /       2   \ /           /       2   \       \       
a      *\1 + tan (x)/*\2*tan(x) + \1 + tan (x)/*log(a)/*log(a)

$$a^{\tan{\left(x \right)}} \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(a \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(a \right)}$$

Третья производная

                      /                             2                                        \       
 tan(x) /       2   \ |         2      /       2   \     2        /       2   \              |       
a      *\1 + tan (x)/*\2 + 6*tan (x) + \1 + tan (x)/ *log (a) + 6*\1 + tan (x)/*log(a)*tan(x)/*log(a)

$$a^{\tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(a \right)}^{2} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(a \right)} \tan{\left(x \right)} + 6 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(a \right)}$$