Производная 4/tan(x)

Вы ввели

  4   
------
tan(x)

$$\frac{4}{\tan{\left(x \right)}}$$

d /  4   \
--|------|
dx\tan(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{4}{\tan{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

  /        2   \
4*\-1 - tan (x)/
----------------
       2        
    tan (x)     

$$\frac{4 \left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

                /            2   \
  /       2   \ |     1 + tan (x)|
8*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|
                |          2     |
                \       tan (x)  /
----------------------------------
              tan(x)              

$$\frac{8 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}}$$

Третья производная

  /                                3                  2\
  |                   /       2   \      /       2   \ |
  |          2      3*\1 + tan (x)/    5*\1 + tan (x)/ |
8*|-2 - 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|
  |                        4                  2        |
  \                     tan (x)            tan (x)     /

$$8 \left(- \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}} + \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 2 \tan^{2}{\left(x \right)} - 2\right)$$

График