Производная 4*x*cot(x)

Вы ввели

4*x*cot(x)

$$4 x \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 4 x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $4$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{4 x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 4 \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{4 x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{4}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{4}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

               /        2   \
4*cot(x) + 4*x*\-1 - cot (x)/

$$4 x \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + 4 \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /        2        /       2   \       \
8*\-1 - cot (x) + x*\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$8 \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /             /       2   \          2   \
8*\1 + cot (x)/*\3*cot(x) - x*\1 + cot (x)/ - 2*x*cot (x)/

$$8 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - 2 x \cot^{2}{\left (x \right )} + 3 \cot{\left (x \right )}\right)$$