Производная 4^cot(x)

Вы ввели

 cot(x)
4      

$$4^{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left (4 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4^{\cot{\left (x \right )}} \log{\left (4 \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2^{\frac{2}{\tan{\left (x \right )}}} \log{\left (4 \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{\frac{2}{\tan{\left (x \right )}}} \log{\left (4 \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 cot(x) /        2   \       
4      *\-1 - cot (x)/*log(4)

$$4^{\cot{\left (x \right )}} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (4 \right )}$$

Вторая производная

 cot(x) /       2   \ /           /       2   \       \       
4      *\1 + cot (x)/*\2*cot(x) + \1 + cot (x)/*log(4)/*log(4)

$$4^{\cot{\left (x \right )}} \left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (4 \right )} + 2 \cot{\left (x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (4 \right )}$$

Третья производная

                       /                             2                                        \       
  cot(x) /       2   \ |         2      /       2   \     2        /       2   \              |       
-4      *\1 + cot (x)/*\2 + 6*cot (x) + \1 + cot (x)/ *log (4) + 6*\1 + cot (x)/*cot(x)*log(4)/*log(4)

$$- 4^{\cot{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (4 \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (4 \right )} \cot{\left (x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \log{\left (4 \right )}$$