Производная csc(x)*cot(x)

Вы ввели

csc(x)*cot(x)

$$\cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \csc{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

         $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \csc{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - \frac{\cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{2}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{2}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

/        2   \             2          
\-1 - cot (x)/*csc(x) - cot (x)*csc(x)

$$\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \csc{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/         2   \              
\5 + 6*cot (x)/*cot(x)*csc(x)

$$\left(6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 5\right) \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Третья производная

 /                         2                           \       
 |   4        /       2   \          2    /       2   \|       
-\cot (x) + 5*\1 + cot (x)/  + 18*cot (x)*\1 + cot (x)//*csc(x)

$$- \left(5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 18 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \csc{\left (x \right )}$$