Производная функции/ От одной переменной/ y' = (csc(x)*cot(x)^(2))'

Производная csc(x)*cot(x)^(2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2   
csc(x)*cot (x)
cot⁡2(x)csc⁡(x)\cot^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}
Подробное решение

  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=csc⁡(x)f{\left (x \right )} = \csc{\left (x \right )}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

        ddxcsc⁡(x)=−cot⁡(x)csc⁡(x)\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}

    g(x)=cot⁡2(x)g{\left (x \right )} = \cot^{2}{\left (x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=cot⁡(x)u = \cot{\left (x \right )}.

    2. В силу правила, применим: u2u^{2} получим 2u2 u

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. ddxcot⁡(x)=−1sin⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

      В результате последовательности правил:

      −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}

    В результате: −2cot⁡(x)csc⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))−cos⁡(x)cot⁡2(x)sin⁡2(x)- \frac{2 \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \frac{\cos{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}

  2. Теперь упростим:

    −cos⁡(x)sin⁡4(x)(cos⁡2(x)+2)- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)

Ответ:

−cos⁡(x)sin⁡4(x)(cos⁡2(x)+2)- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)

График
02468-8-6-4-2-1010500000000-250000000
Первая производная [src]
     3             /          2   \              
- cot (x)*csc(x) + \-2 - 2*cot (x)/*cot(x)*csc(x)
(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡(x)csc⁡(x)−cot⁡3(x)csc⁡(x)\left(- 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} - \cot^{3}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}
Упростить
Вторая производная [src]
/                         2                          \       
|   4        /       2   \         2    /       2   \|       
\cot (x) + 2*\1 + cot (x)/  + 9*cot (x)*\1 + cot (x)//*csc(x)
(2(cot⁡2(x)+1)2+9(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)+cot⁡4(x))csc⁡(x)\left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 9 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \csc{\left (x \right )}
Упростить
Третья производная [src]
 /                          2                           \              
 |   4         /       2   \          2    /       2   \|              
-\cot (x) + 28*\1 + cot (x)/  + 31*cot (x)*\1 + cot (x)//*cot(x)*csc(x)
−(28(cot⁡2(x)+1)2+31(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)+cot⁡4(x))cot⁡(x)csc⁡(x)- \left(28 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 31 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}
Упростить