Производная csc(x)*cot(x)^(2)

Вы ввели

          2   
csc(x)*cot (x)

$$\cot^{2}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \csc{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

         $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \cot^{2}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{2 \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \frac{\cos{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right)$

Первая производная

     3             /          2   \              
- cot (x)*csc(x) + \-2 - 2*cot (x)/*cot(x)*csc(x)

$$\left(- 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} - \cot^{3}{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/                         2                          \       
|   4        /       2   \         2    /       2   \|       
\cot (x) + 2*\1 + cot (x)/  + 9*cot (x)*\1 + cot (x)//*csc(x)

$$\left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 9 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \csc{\left (x \right )}$$

Третья производная

 /                          2                           \              
 |   4         /       2   \          2    /       2   \|              
-\cot (x) + 28*\1 + cot (x)/  + 31*cot (x)*\1 + cot (x)//*cot(x)*csc(x)

$$- \left(28 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 31 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$