Производная csc(x)*(x+cot(x))

Вы ввели

csc(x)*(x + cot(x))

$$\left(x + \cot{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)}$$

d                      
--(csc(x)*(x + cot(x)))
dx                     

$$\frac{d}{d x} \left(x + \cot{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \csc{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\csc{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

   2. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = x + \cot{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x + \cot{\left(x \right)}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Method #1

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

         2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

         3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

            1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

               $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

            2. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная синуса есть косинус:

                  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Производная косинус есть минус синус:

                  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

               Теперь применим правило производной деления:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

         Method #2

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 1$

   В результате: $- \frac{\left(x + \cot{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \csc{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\left(x + \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(x + \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

     2                                       
- cot (x)*csc(x) - (x + cot(x))*cot(x)*csc(x)

$$- \left(x + \cot{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$

Вторая производная

/     3      /         2   \                  /       2   \       \       
\2*cot (x) + \1 + 2*cot (x)/*(x + cot(x)) + 2*\1 + cot (x)/*cot(x)/*csc(x)

$$\left(\left(x + \cot{\left(x \right)}\right) \left(2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + 2 \cot^{3}{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)}$$

Третья производная

 /  /       2   \ /         2   \        2    /         2   \        2    /       2   \   /         2   \                    \       
-\2*\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ + 3*cot (x)*\1 + 2*cot (x)/ + 6*cot (x)*\1 + cot (x)/ + \5 + 6*cot (x)/*(x + cot(x))*cot(x)/*csc(x)

$$- \left(\left(x + \cot{\left(x \right)}\right) \left(6 \cot^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \cot{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + 3 \cdot \left(2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)}$$

График