Производная 2+log((x-5)/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       /x - 5\
2 + log|-----|
       \  x  /
log(1x(x5))+2\log{\left (\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} + 2
Подробное решение
  1. дифференцируем log(1x(x5))+2\log{\left (\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} + 2 почленно:

    1. Производная постоянной 22 равна нулю.

    2. Заменим u=1x(x5)u = \frac{1}{x} \left(x - 5\right).

    3. Производная log(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(1x(x5))\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right):

      1. Применим правило производной частного:

        ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

        f(x)=x5f{\left (x \right )} = x - 5 и g(x)=xg{\left (x \right )} = x.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

        1. дифференцируем x5x - 5 почленно:

          1. Производная постоянной 5-5 равна нулю.

          2. В силу правила, применим: xx получим 11

          В результате: 11

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Теперь применим правило производной деления:

        5x2\frac{5}{x^{2}}

      В результате последовательности правил:

      5x(x5)\frac{5}{x \left(x - 5\right)}

    В результате: 5x(x5)\frac{5}{x \left(x - 5\right)}

  2. Теперь упростим:

    5x(x5)\frac{5}{x \left(x - 5\right)}


Ответ:

5x(x5)\frac{5}{x \left(x - 5\right)}

График
02468-8-6-4-2-1010-5050
Первая производная [src]
  /1   x - 5\
x*|- - -----|
  |x      2 |
  \      x  /
-------------
    x - 5    
xx5(1x1x2(x5))\frac{x}{x - 5} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x - 5\right)\right)
Вторая производная [src]
/    -5 + x\ /  1     1   \
|1 - ------|*|- - - ------|
\      x   / \  x   -5 + x/
---------------------------
           -5 + x          
1x5(11x(x5))(1x51x)\frac{1}{x - 5} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right) \left(- \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x}\right)
Третья производная [src]
  /    -5 + x\ /1        1           1     \
2*|1 - ------|*|-- + --------- + ----------|
  \      x   / | 2           2   x*(-5 + x)|
               \x    (-5 + x)              /
--------------------------------------------
                   -5 + x                   
2x5(11x(x5))(1(x5)2+1x(x5)+1x2)\frac{2}{x - 5} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right) \left(\frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 5\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)