Производная 2*t/(1+t)

Вы ввели

 2*t 
-----
1 + t

$$\frac{2 t}{t + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = 2 t$ и $g{\left (t \right )} = t + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $2$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. дифференцируем $t + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2}{\left(t + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\left(t + 1\right)^{2}}$

Первая производная

  2       2*t   
----- - --------
1 + t          2
        (1 + t) 

$$- \frac{2 t}{\left(t + 1\right)^{2}} + \frac{2}{t + 1}$$

Вторая производная

  /       t  \
4*|-1 + -----|
  \     1 + t/
--------------
          2   
   (1 + t)    

$$\frac{\frac{4 t}{t + 1} - 4}{\left(t + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

   /      t  \
12*|1 - -----|
   \    1 + t/
--------------
          3   
   (1 + t)    

$$\frac{1}{\left(t + 1\right)^{3}} \left(- \frac{12 t}{t + 1} + 12\right)$$