Производная 2^cot(1/x)

Вы ввели

    /  1\
 cot|1*-|
    \  x/
2        

$$2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$$

  /    /  1\\
  | cot|1*-||
d |    \  x/|
--\2        /
dx           

$$\frac{d}{d x} 2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

            2. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

               1. Применим правило производной частного:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

                  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

                  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Теперь применим правило производной деления:

                  $- \frac{1}{x^{2}}$

               В результате последовательности правил:

               $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

               1. Применим правило производной частного:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

                  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

                  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Теперь применим правило производной деления:

                  $- \frac{1}{x^{2}}$

               В результате последовательности правил:

               $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

            1. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Теперь применим правило производной деления:

               $- \frac{1}{x^{2}}$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

            1. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Теперь применим правило производной деления:

               $- \frac{1}{x^{2}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

Первая производная

     /  1\                         
  cot|1*-|                         
     \  x/ /        2/  1\\        
-2        *|-1 - cot |1*-||*log(2) 
           \         \  x//        
-----------------------------------
                  2                
                 x                 

$$- \frac{2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(- \cot^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

    /1\               /          /1\   /       2/1\\       \       
 cot|-|               |     2*cot|-|   |1 + cot |-||*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/   \        \x//       |       
2      *|1 + cot |-||*|-2 + -------- + --------------------|*log(2)
        \        \x// \        x                x          /       
-------------------------------------------------------------------
                                  3                                
                                 x                                 

$$\frac{2^{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(-2 + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{3}}$$

Третья производная

                      /                                                           2                                                                 \       
    /1\               |          /1\     /       2/1\\        2/1\   /       2/1\\     2        /       2/1\\            /       2/1\\    /1\       |       
 cot|-|               |    12*cot|-|   2*|1 + cot |-||   4*cot |-|   |1 + cot |-|| *log (2)   6*|1 + cot |-||*log(2)   6*|1 + cot |-||*cot|-|*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/     \        \x//         \x/   \        \x//              \        \x//            \        \x//    \x/       |       
2      *|1 + cot |-||*|6 - --------- + --------------- + --------- + ---------------------- - ---------------------- + -----------------------------|*log(2)
        \        \x// |        x               2              2                 2                       x                             2             |       
                      \                       x              x                 x                                                     x              /       
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              4                                                                             
                                                                             x                                                                              

$$\frac{2^{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(6 - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} - \frac{12 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{4 \cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{4}}$$

График