Производная 2^cot(1/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
    /  1\
 cot|1*-|
    \  x/
2        
2cot(11x)2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}
  /    /  1\\
  | cot|1*-||
d |    \  x/|
--\2        /
dx           
ddx2cot(11x)\frac{d}{d x} 2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}
Подробное решение
  1. Заменим u=cot(11x)u = \cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}.

  2. ddu2u=2ulog(2)\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxcot(11x)\frac{d}{d x} \cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}:

    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        cot(11x)=1tan(11x)\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}

      2. Заменим u=tan(11x)u = \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}.

      3. В силу правила, применим: 1u\frac{1}{u} получим 1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(11x)\frac{d}{d x} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}:

        1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

          tan(11x)=sin(11x)cos(11x)\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}

        2. Применим правило производной частного:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin(11x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} и g(x)=cos(11x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}.

          Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Заменим u=11xu = 1 \cdot \frac{1}{x}.

          2. Производная синуса есть косинус:

            ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx11x\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}:

            1. Применим правило производной частного:

              ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=1f{\left(x \right)} = 1 и g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

              Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. Производная постоянной 11 равна нулю.

              Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. В силу правила, применим: xx получим 11

              Теперь применим правило производной деления:

              1x2- \frac{1}{x^{2}}

            В результате последовательности правил:

            cos(11x)x2- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

          Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Заменим u=11xu = 1 \cdot \frac{1}{x}.

          2. Производная косинус есть минус синус:

            dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx11x\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}:

            1. Применим правило производной частного:

              ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=1f{\left(x \right)} = 1 и g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

              Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. Производная постоянной 11 равна нулю.

              Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. В силу правила, применим: xx получим 11

              Теперь применим правило производной деления:

              1x2- \frac{1}{x^{2}}

            В результате последовательности правил:

            sin(11x)x2\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

          Теперь применим правило производной деления:

          sin2(11x)x2cos2(11x)x2cos2(11x)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}

        В результате последовательности правил:

        sin2(11x)x2cos2(11x)x2cos2(11x)tan2(11x)- \frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        cot(11x)=cos(11x)sin(11x)\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}

      2. Применим правило производной частного:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos(11x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} и g(x)=sin(11x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=11xu = 1 \cdot \frac{1}{x}.

        2. Производная косинус есть минус синус:

          dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx11x\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}:

          1. Применим правило производной частного:

            ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=1f{\left(x \right)} = 1 и g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

            Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Производная постоянной 11 равна нулю.

            Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Теперь применим правило производной деления:

            1x2- \frac{1}{x^{2}}

          В результате последовательности правил:

          sin(11x)x2\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Заменим u=11xu = 1 \cdot \frac{1}{x}.

        2. Производная синуса есть косинус:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx11x\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}:

          1. Применим правило производной частного:

            ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=1f{\left(x \right)} = 1 и g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

            Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Производная постоянной 11 равна нулю.

            Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Теперь применим правило производной деления:

            1x2- \frac{1}{x^{2}}

          В результате последовательности правил:

          cos(11x)x2- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

        Теперь применим правило производной деления:

        sin2(11x)x2+cos2(11x)x2sin2(11x)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}

    В результате последовательности правил:

    2cot(11x)(sin2(11x)x2cos2(11x)x2)log(2)cos2(11x)tan2(11x)- \frac{2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}

  4. Теперь упростим:

    21tan(1x)log(2)x2sin2(1x)\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}


Ответ:

21tan(1x)log(2)x2sin2(1x)\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010025000
Первая производная [src]
     /  1\                         
  cot|1*-|                         
     \  x/ /        2/  1\\        
-2        *|-1 - cot |1*-||*log(2) 
           \         \  x//        
-----------------------------------
                  2                
                 x                 
2cot(11x)(cot2(11x)1)log(2)x2- \frac{2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(- \cot^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{2}}
Вторая производная [src]
    /1\               /          /1\   /       2/1\\       \       
 cot|-|               |     2*cot|-|   |1 + cot |-||*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/   \        \x//       |       
2      *|1 + cot |-||*|-2 + -------- + --------------------|*log(2)
        \        \x// \        x                x          /       
-------------------------------------------------------------------
                                  3                                
                                 x                                 
2cot(1x)(cot2(1x)+1)(2+(cot2(1x)+1)log(2)x+2cot(1x)x)log(2)x3\frac{2^{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(-2 + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{3}}
Третья производная [src]
                      /                                                           2                                                                 \       
    /1\               |          /1\     /       2/1\\        2/1\   /       2/1\\     2        /       2/1\\            /       2/1\\    /1\       |       
 cot|-|               |    12*cot|-|   2*|1 + cot |-||   4*cot |-|   |1 + cot |-|| *log (2)   6*|1 + cot |-||*log(2)   6*|1 + cot |-||*cot|-|*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/     \        \x//         \x/   \        \x//              \        \x//            \        \x//    \x/       |       
2      *|1 + cot |-||*|6 - --------- + --------------- + --------- + ---------------------- - ---------------------- + -----------------------------|*log(2)
        \        \x// |        x               2              2                 2                       x                             2             |       
                      \                       x              x                 x                                                     x              /       
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              4                                                                             
                                                                             x                                                                              
2cot(1x)(cot2(1x)+1)(66(cot2(1x)+1)log(2)x12cot(1x)x+(cot2(1x)+1)2log(2)2x2+6(cot2(1x)+1)log(2)cot(1x)x2+2(cot2(1x)+1)x2+4cot2(1x)x2)log(2)x4\frac{2^{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(6 - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} - \frac{12 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{4 \cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{4}}
График
Производная 2^cot(1/x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/8/96/f048820110ad37d76bd432626be89.png