Производная 2^sin(x^2)

Вы ввели

    / 2\
 sin\x /
2       

$$2^{\sin{\left(x^{2} \right)}}$$

  /    / 2\\
d | sin\x /|
--\2       /
dx          

$$\frac{d}{d x} 2^{\sin{\left(x^{2} \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(x^{2} \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x^{2} \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $2 \cdot 2^{\sin{\left(x^{2} \right)}} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}$

4. Теперь упростим:

   $2^{\sin{\left(x^{2} \right)} + 1} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}$

---

Ответ:

$2^{\sin{\left(x^{2} \right)} + 1} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}$

Первая производная

        / 2\               
     sin\x /    / 2\       
2*x*2       *cos\x /*log(2)

$$2 \cdot 2^{\sin{\left(x^{2} \right)}} x \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}$$

Вторая производная

      / 2\                                                         
   sin\x / /     2    / 2\      2    2/ 2\             / 2\\       
2*2       *\- 2*x *sin\x / + 2*x *cos \x /*log(2) + cos\x //*log(2)

$$2 \cdot 2^{\sin{\left(x^{2} \right)}} \left(- 2 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 2 x^{2} \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(x^{2} \right)} + \cos{\left(x^{2} \right)}\right) \log{\left(2 \right)}$$

Третья производная

        / 2\                                                                                                              
     sin\x / /       / 2\      2    / 2\        2/ 2\             2    3/ 2\    2         2    / 2\           / 2\\       
4*x*2       *\- 3*sin\x / - 2*x *cos\x / + 3*cos \x /*log(2) + 2*x *cos \x /*log (2) - 6*x *cos\x /*log(2)*sin\x //*log(2)

$$4 \cdot 2^{\sin{\left(x^{2} \right)}} x \left(- 6 x^{2} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} \cos^{3}{\left(x^{2} \right)} - 2 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} - 3 \sin{\left(x^{2} \right)} + 3 \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(x^{2} \right)}\right) \log{\left(2 \right)}$$

График