Производная 2^(x/log(x))

Вы ввели

   x   
 ------
 log(x)
2      

$$2^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{\log{\left (x \right )}}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left (2 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{\log{\left (x \right )}}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\log{\left (x \right )} - 1}{\log^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}} \log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{2^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}} \log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

   x                             
 ------                          
 log(x) /  1         1   \       
2      *|------ - -------|*log(2)
        |log(x)      2   |       
        \         log (x)/       

$$2^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}} \left(\frac{1}{\log{\left (x \right )}} - \frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right) \log{\left (2 \right )}$$

Вторая производная

   x    /                             2   \       
 ------ |            2          1 - ------|       
 log(x) |/      1   \               log(x)|       
2      *||1 - ------| *log(2) - ----------|*log(2)
        \\    log(x)/               x     /       
--------------------------------------------------
                        2                         
                     log (x)                      

$$\frac{2^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}} \log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right)^{2} \log{\left (2 \right )} - \frac{1}{x} \left(1 - \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right)\right)$$

Третья производная

        /       6                  3                                             \       
   x    |1 - -------   /      1   \     2        /      1   \ /      2   \       |       
 ------ |       2      |1 - ------| *log (2)   3*|1 - ------|*|1 - ------|*log(2)|       
 log(x) |    log (x)   \    log(x)/              \    log(x)/ \    log(x)/       |       
2      *|----------- + --------------------- - ----------------------------------|*log(2)
        |      2               log(x)                       x*log(x)             |       
        \     x                                                                  /       
-----------------------------------------------------------------------------------------
                                            2                                            
                                         log (x)                                         

$$\frac{2^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}} \log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{\left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right)^{3}}{\log{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (2 \right )} - \frac{3 \log{\left (2 \right )}}{x \log{\left (x \right )}} \left(1 - \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(1 - \frac{6}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right)\right)$$