Производная 2^x/sin(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   x  
  2   
------
sin(x)
2xsin(x)\frac{2^{x}}{\sin{\left(x \right)}}
  /   x  \
d |  2   |
--|------|
dx\sin(x)/
ddx2xsin(x)\frac{d}{d x} \frac{2^{x}}{\sin{\left(x \right)}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=2xf{\left(x \right)} = 2^{x} и g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. ddx2x=2xlog(2)\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Производная синуса есть косинус:

      ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

    Теперь применим правило производной деления:

    2xlog(2)sin(x)2xcos(x)sin2(x)\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} - 2^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

  2. Теперь упростим:

    2x(log(2)1tan(x))sin(x)\frac{2^{x} \left(\log{\left(2 \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}


Ответ:

2x(log(2)1tan(x))sin(x)\frac{2^{x} \left(\log{\left(2 \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-10000001000000
Первая производная [src]
 x           x       
2 *log(2)   2 *cos(x)
--------- - ---------
  sin(x)        2    
             sin (x) 
2xlog(2)sin(x)2xcos(x)sin2(x)\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
Вторая производная [src]
   /                   2                     \
 x |       2      2*cos (x)   2*cos(x)*log(2)|
2 *|1 + log (2) + --------- - ---------------|
   |                  2            sin(x)    |
   \               sin (x)                   /
----------------------------------------------
                    sin(x)                    
2x(log(2)2+12log(2)cos(x)sin(x)+2cos2(x)sin2(x))sin(x)\frac{2^{x} \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1 - \frac{2 \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}
Третья производная [src]
   /                                     /         2   \                          \
   |                                     |    6*cos (x)|                          |
   |                                     |5 + ---------|*cos(x)                   |
   |            /         2   \          |        2    |               2          |
 x |   3        |    2*cos (x)|          \     sin (x) /          3*log (2)*cos(x)|
2 *|log (2) + 3*|1 + ---------|*log(2) - ---------------------- - ----------------|
   |            |        2    |                  sin(x)                sin(x)     |
   \            \     sin (x) /                                                   /
-----------------------------------------------------------------------------------
                                       sin(x)                                      
2x(3(1+2cos2(x)sin2(x))log(2)(5+6cos2(x)sin2(x))cos(x)sin(x)+log(2)33log(2)2cos(x)sin(x))sin(x)\frac{2^{x} \left(3 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(2 \right)} - \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(2 \right)}^{3} - \frac{3 \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}
График
Производная 2^x/sin(x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/b/25/95de91f0a63812a18f67347b5ff8e.png