Производная exp(1/x)-x

Вы ввели

 1    
 -    
 x    
e  - x

$$- x + e^{\frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- x + e^{\frac{1}{x}}$ почленно:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   В результате: $-1 - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$-1 - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Первая производная

      1
      -
      x
     e 
-1 - --
      2
     x 

$$-1 - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$$

Вторая производная

         1
         -
/    1\  x
|2 + -|*e 
\    x/   
----------
     3    
    x     

$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 + \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

               1 
               - 
 /    1    6\  x 
-|6 + -- + -|*e  
 |     2   x|    
 \    x     /    
-----------------
         4       
        x        

$$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(6 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$