Производная exp(1/(x+2))

Вы ввели

   1  
 -----
 x + 2
e     

$$e^{\frac{1}{x + 2}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x + 2}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x + 2}$:

   1. Заменим $u = x + 2$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 2\right)$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x + 2}}}{\left(x + 2\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x + 2}}}{\left(x + 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{x + 2}}}{\left(x + 2\right)^{2}}$

Первая производная

    1   
  ----- 
  x + 2 
-e      
--------
       2
(x + 2) 

$$- \frac{e^{\frac{1}{x + 2}}}{\left(x + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

               1  
             -----
/      1  \  2 + x
|2 + -----|*e     
\    2 + x/       
------------------
            3     
     (2 + x)      

$$\frac{e^{\frac{1}{x + 2}}}{\left(x + 2\right)^{3}} \left(2 + \frac{1}{x + 2}\right)$$

Третья производная

                           1   
                         ----- 
 /       1         6  \  2 + x 
-|6 + -------- + -----|*e      
 |           2   2 + x|        
 \    (2 + x)         /        
-------------------------------
                   4           
            (2 + x)            

$$- \frac{e^{\frac{1}{x + 2}}}{\left(x + 2\right)^{4}} \left(6 + \frac{6}{x + 2} + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)$$