Производная exp(1/(x+1))

Вы ввели

   1  
 -----
 x + 1
e     

$$e^{\frac{1}{x + 1}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x + 1}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x + 1}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1   
  ----- 
  x + 1 
-e      
--------
       2
(x + 1) 

$$- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

               1  
             -----
/      1  \  1 + x
|2 + -----|*e     
\    1 + x/       
------------------
            3     
     (1 + x)      

$$\frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{3}} \left(2 + \frac{1}{x + 1}\right)$$

Третья производная

                           1   
                         ----- 
 /       1         6  \  1 + x 
-|6 + -------- + -----|*e      
 |           2   1 + x|        
 \    (1 + x)         /        
-------------------------------
                   4           
            (1 + x)            

$$- \frac{e^{\frac{1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{4}} \left(6 + \frac{6}{x + 1} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$