Производная exp(x)/(1-x)

Вы ввели

   x 
  e  
-----
1 - x

$$\frac{e^{x}}{- x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = - x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(- x + 1\right) e^{x} + e^{x}}{\left(- x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(- x + 2\right) e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(- x + 2\right) e^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

   x        x   
  e        e    
----- + --------
1 - x          2
        (1 - x) 

$$\frac{e^{x}}{- x + 1} + \frac{e^{x}}{\left(- x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/         2         2   \  x
|-1 - --------- + ------|*e 
|             2   -1 + x|   
\     (-1 + x)          /   
----------------------------
           -1 + x           

$$\frac{e^{x}}{x - 1} \left(-1 + \frac{2}{x - 1} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/         6         3          6    \  x
|-1 - --------- + ------ + ---------|*e 
|             2   -1 + x           3|   
\     (-1 + x)             (-1 + x) /   
----------------------------------------
                 -1 + x                 

$$\frac{e^{x}}{x - 1} \left(-1 + \frac{3}{x - 1} - \frac{6}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{6}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)$$