Производная exp(x/sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   x   
 ------
 sin(x)
e      
exsin(x)e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}
Подробное решение
  1. Заменим u=xsin(x)u = \frac{x}{\sin{\left (x \right )}}.

  2. Производная eue^{u} само оно.

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(xsin(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}\right):

    1. Применим правило производной частного:

      ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

      f(x)=xf{\left (x \right )} = x и g(x)=sin(x)g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}.

      Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

      1. В силу правила, применим: xx получим 11

      Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      Теперь применим правило производной деления:

      1sin2(x)(xcos(x)+sin(x))\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)

    В результате последовательности правил:

    exsin(x)sin2(x)(xcos(x)+sin(x))\frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)


Ответ:

exsin(x)sin2(x)(xcos(x)+sin(x))\frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)

График
02468-8-6-4-2-1010-1e1371e137
Первая производная [src]
                       x   
                     ------
/  1      x*cos(x)\  sin(x)
|------ - --------|*e      
|sin(x)      2    |        
\         sin (x) /        
(xcos(x)sin2(x)+1sin(x))exsin(x)\left(- \frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right) e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}
Вторая производная [src]
/                   2                         \        
|    /     x*cos(x)\                          |    x   
|    |-1 + --------|                      2   |  ------
|    \      sin(x) /    2*cos(x)   2*x*cos (x)|  sin(x)
|x + ---------------- - -------- + -----------|*e      
|         sin(x)         sin(x)         2     |        
\                                    sin (x)  /        
-------------------------------------------------------
                         sin(x)                        
exsin(x)sin(x)(x+2xcos2(x)sin2(x)+1sin(x)(xcos(x)sin(x)1)22cos(x)sin(x))\frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(x + \frac{2 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - 1\right)^{2} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)
Третья производная [src]
 /                                                      /                      2   \                           \         
 |                    3                 /     x*cos(x)\ |    2*cos(x)   2*x*cos (x)|                           |         
 |     /     x*cos(x)\                3*|-1 + --------|*|x - -------- + -----------|                           |    x    
 |     |-1 + --------|         2        \      sin(x) / |     sin(x)         2     |                       3   |  ------ 
 |     \      sin(x) /    6*cos (x)                     \                 sin (x)  /   5*x*cos(x)   6*x*cos (x)|  sin(x) 
-|-3 + ---------------- - --------- + ---------------------------------------------- + ---------- + -----------|*e       
 |            2               2                           sin(x)                         sin(x)          3     |         
 \         sin (x)         sin (x)                                                                    sin (x)  /         
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                          sin(x)                                                         
exsin(x)sin(x)(5xcos(x)sin(x)+6xcos3(x)sin3(x)+1sin2(x)(xcos(x)sin(x)1)3+3sin(x)(xcos(x)sin(x)1)(x+2xcos2(x)sin2(x)2cos(x)sin(x))36cos2(x)sin2(x))- \frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{5 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{6 x \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - 1\right)^{3} + \frac{3}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - 1\right) \left(x + \frac{2 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right) - 3 - \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)