Производная exp(x)/sin(x)

Вы ввели

   x  
  e   
------
sin(x)

$$\frac{e^{x}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   x             x
  e      cos(x)*e 
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$\frac{e^{x}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{e^{x} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /       2            \   
  |    cos (x)   cos(x)|  x
2*|1 + ------- - ------|*e 
  |       2      sin(x)|   
  \    sin (x)         /   
---------------------------
           sin(x)          

$$\frac{2 e^{x}}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /                    3           2   \   
  |    4*cos(x)   3*cos (x)   3*cos (x)|  x
2*|2 - -------- - --------- + ---------|*e 
  |     sin(x)        3           2    |   
  \                sin (x)     sin (x) /   
-------------------------------------------
                   sin(x)                  

$$\frac{2 e^{x}}{\sin{\left (x \right )}} \left(2 - \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{3 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}\right)$$