Производная exp(x)*cot(x)

Вы ввели

 x       
e *cot(x)

$$e^{x} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + e^{x} \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(\sin{\left (2 x \right )} - 2\right) e^{x}}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{\left(\sin{\left (2 x \right )} - 2\right) e^{x}}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

/        2   \  x           x
\-1 - cot (x)/*e  + cot(x)*e 

$$\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) e^{x} + e^{x} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/          2        /       2   \                \  x
\-2 - 2*cot (x) + 2*\1 + cot (x)/*cot(x) + cot(x)/*e 

$$\left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 2 \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )} - 2\right) e^{x}$$

Третья производная

/                                2                                                            \   
|          2        /       2   \         2    /       2   \     /       2   \                |  x
\-3 - 3*cot (x) - 2*\1 + cot (x)/  - 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 6*\1 + cot (x)/*cot(x) + cot(x)/*e 

$$\left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 3 \cot^{2}{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )} - 3\right) e^{x}$$