Производная exp(x)*log(x)

Вы ввели

 x       
e *log(x)

$$e^{x} \log{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   В результате: $e^{x} \log{\left (x \right )} + \frac{e^{x}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x}}{x} \left(x \log{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{x}}{x} \left(x \log{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

 x            
e     x       
-- + e *log(x)
x             

$$e^{x} \log{\left (x \right )} + \frac{e^{x}}{x}$$

Вторая производная

/  1    2         \  x
|- -- + - + log(x)|*e 
|   2   x         |   
\  x              /   

$$\left(\log{\left (x \right )} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{x}$$

Третья производная

/  3    2    3         \  x
|- -- + -- + - + log(x)|*e 
|   2    3   x         |   
\  x    x              /   

$$\left(\log{\left (x \right )} + \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}\right) e^{x}$$