Производная e^(cos(x)-sin(x))

Вы ввели

 cos(x) - sin(x)
E               

$$e^{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) e^{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \sqrt{2} e^{\sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$- \sqrt{2} e^{\sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

                    cos(x) - sin(x)
(-cos(x) - sin(x))*e               

$$\left(- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) e^{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/                 2                  \  -sin(x) + cos(x)
\(cos(x) + sin(x))  - cos(x) + sin(x)/*e                

$$\left(\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2} + \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) e^{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Третья производная

                  /                     2                      \  -sin(x) + cos(x)
(cos(x) + sin(x))*\1 - (cos(x) + sin(x))  - 3*sin(x) + 3*cos(x)/*e                

$$\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \left(- \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2} - 3 \sin{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1\right) e^{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$