Производная e^cos(x)*(csc(x))

Вы ввели

 cos(x)       
E      *csc(x)

$$e^{\cos{\left (x \right )}} \csc{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{\cos{\left (x \right )}}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \csc{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

         $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

   В результате: $- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} - \frac{e^{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \left(1 + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) e^{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \left(1 + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) e^{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

                 cos(x)           cos(x)       
- cot(x)*csc(x)*e       - csc(x)*e      *sin(x)

$$- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} - e^{\cos{\left (x \right )}} \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/       2                    2                     \         cos(x)
\1 + sin (x) - cos(x) + 2*cot (x) + 2*cot(x)*sin(x)/*csc(x)*e      

$$\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + 2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) e^{\cos{\left (x \right )}} \csc{\left (x \right )}$$

Третья производная

/     3         3        /       2   \               2                  2               /       2   \                                                    \         cos(x)
\- cot (x) - sin (x) - 5*\1 + cot (x)/*cot(x) - 3*cot (x)*sin(x) - 3*sin (x)*cot(x) - 3*\1 + cot (x)/*sin(x) + 3*cos(x)*cot(x) + 3*cos(x)*sin(x) + sin(x)/*csc(x)*e      

$$\left(- 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} - 5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - \sin^{3}{\left (x \right )} - 3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} - \cot^{3}{\left (x \right )}\right) e^{\cos{\left (x \right )}} \csc{\left (x \right )}$$