Производная e^cot(5*x)

Вы ввели

 cot(5*x)
E        

$$e^{\cot{\left (5 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (5 x \right )}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (5 x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{5}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\left(5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}\right) e^{\cot{\left (5 x \right )}}}{\cos^{2}{\left (5 x \right )} \tan^{2}{\left (5 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{5 e^{\frac{1}{\tan{\left (5 x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{5 e^{\frac{1}{\tan{\left (5 x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

Первая производная

/          2     \  cot(5*x)
\-5 - 5*cot (5*x)/*e        

$$\left(- 5 \cot^{2}{\left (5 x \right )} - 5\right) e^{\cot{\left (5 x \right )}}$$

Вторая производная

   /       2     \ /       2                  \  cot(5*x)
25*\1 + cot (5*x)/*\1 + cot (5*x) + 2*cot(5*x)/*e        

$$25 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 2 \cot{\left (5 x \right )} + 1\right) e^{\cot{\left (5 x \right )}}$$

Третья производная

                     /                   2                                           \          
     /       2     \ |    /       2     \         2          /       2     \         |  cot(5*x)
-125*\1 + cot (5*x)/*\2 + \1 + cot (5*x)/  + 6*cot (5*x) + 6*\1 + cot (5*x)/*cot(5*x)/*e        

$$- 125 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)^{2} + 6 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \cot{\left (5 x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (5 x \right )} + 2\right) e^{\cot{\left (5 x \right )}}$$