Производная e^(-cot(5*x))

Вы ввели

 -cot(5*x)
E         

$$e^{- \cot{\left (5 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \cot{\left (5 x \right )}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cot{\left (5 x \right )}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Заменим $u = 5 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{5}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\cos^{2}{\left (5 x \right )} \tan^{2}{\left (5 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\left(5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}\right) e^{- \cot{\left (5 x \right )}}}{\cos^{2}{\left (5 x \right )} \tan^{2}{\left (5 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5 e^{- \frac{1}{\tan{\left (5 x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{5 e^{- \frac{1}{\tan{\left (5 x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

Первая производная

/         2     \  -cot(5*x)
\5 + 5*cot (5*x)/*e         

$$\left(5 \cot^{2}{\left (5 x \right )} + 5\right) e^{- \cot{\left (5 x \right )}}$$

Вторая производная

   /       2     \ /       2                  \  -cot(5*x)
25*\1 + cot (5*x)/*\1 + cot (5*x) - 2*cot(5*x)/*e         

$$25 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} - 2 \cot{\left (5 x \right )} + 1\right) e^{- \cot{\left (5 x \right )}}$$

Третья производная

                    /                   2                                           \           
    /       2     \ |    /       2     \         2          /       2     \         |  -cot(5*x)
125*\1 + cot (5*x)/*\2 + \1 + cot (5*x)/  + 6*cot (5*x) - 6*\1 + cot (5*x)/*cot(5*x)/*e         

$$125 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)^{2} - 6 \left(\cot^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \cot{\left (5 x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (5 x \right )} + 2\right) e^{- \cot{\left (5 x \right )}}$$