Производная e^(-x)/x

Вы ввели

 -x
E  
---
 x 

$$\frac{e^{- x}}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 1$ и $g{\left (x \right )} = x e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $x e^{x} + e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- x e^{x} - e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(x + 1\right)$

---

Ответ:

$- \frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(x + 1\right)$

Первая производная

   -x    -x
  e     e  
- --- - ---
   x      2
         x 

$$- \frac{e^{- x}}{x} - \frac{e^{- x}}{x^{2}}$$

Вторая производная

/    2   2 \  -x
|1 + - + --|*e  
|    x    2|    
\        x /    
----------------
       x        

$$\frac{e^{- x}}{x} \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

 /    3   6    6 \  -x 
-|1 + - + -- + --|*e   
 |    x    3    2|     
 \        x    x /     
-----------------------
           x           

$$- \frac{e^{- x}}{x} \left(1 + \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}\right)$$