Производная e^(1/(5-x))

Вы ввели

     1  
 1*-----
   5 - x
e       

$$e^{1 \cdot \frac{1}{5 - x}}$$

  /     1  \
  | 1*-----|
d |   5 - x|
--\e       /
dx          

$$\frac{d}{d x} e^{1 \cdot \frac{1}{5 - x}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{5 - x}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{5 - x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = 5 - x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $5 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(5 - x\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{\frac{1}{5 - x}}}{\left(5 - x\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{- \frac{1}{x - 5}}}{\left(x - 5\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{- \frac{1}{x - 5}}}{\left(x - 5\right)^{2}}$

Первая производная

    1   
  ----- 
  5 - x 
 e      
--------
       2
(5 - x) 

$$\frac{e^{\frac{1}{5 - x}}}{\left(5 - x\right)^{2}}$$

Вторая производная

                -1   
               ------
/       1   \  -5 + x
|-2 + ------|*e      
\     -5 + x/        
---------------------
              3      
      (-5 + x)       

$$\frac{\left(-2 + \frac{1}{x - 5}\right) e^{- \frac{1}{x - 5}}}{\left(x - 5\right)^{3}}$$

Третья производная

                           -1   
                          ------
/        1         6   \  -5 + x
|6 + --------- - ------|*e      
|            2   -5 + x|        
\    (-5 + x)          /        
--------------------------------
                   4            
           (-5 + x)             

$$\frac{\left(6 - \frac{6}{x - 5} + \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) e^{- \frac{1}{x - 5}}}{\left(x - 5\right)^{4}}$$

График